** Exercices de synthèse

Exercice 1
Dans un repère orthonormé \(\left( \text O~ ; \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} \right)\) du plan, on considère les points \(\text A \left( 1~ ; 2 \right)\), \(\text B \left( -2~;1 \right)\) et \(\text C \left( -3 ~; -2\right)\).

1. Calculer les coordonnées du vecteur \(\overrightarrow{\text{AB}}\).

2. Déterminer les coordonnées du point \(\text D\), image du point \(\text C\) par la translation de vecteur \(\overrightarrow{\text{AB}}\).

3. En déduire la nature du quadrilatère \(\text{ABDC}\).

Exercice 2
Dans un repère orthonormé \(\left( \text O~ ; \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} \right)\) du plan, on considère les points \(\text E \left( -10~ ; 7 \right)\), \(\text F \left( 13~;-8 \right)\) et \(\text G \left( 23~ ; -2\right)\).

1. Calculer les coordonnées du vecteur \(\overrightarrow{\text{EF}}\).

2. Déterminer les coordonnées du point \(\text H\) tel que \(\overrightarrow{\text{EF}} = \overrightarrow{\text{GH}}\).

3. En déduire la nature du quadrilatère \(\text{EFHG}\).

Exercice 3
Dans un repère orthonormé \(\left( \text O~ ; \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} \right)\) du plan, on considère les points \(\text P \left( -3 ~; 1 \right)\), \(\text Q \left( 5~ ; 4 \right)\) et \(\text R \left( 2~ ; -2\right)\).

1. Calculer les coordonnées du vecteur \(\overrightarrow{\text{PQ}}\).

2. Déterminer les coordonnées du point \(\text S\) tel que \(\text{PQRS}\) est un parallélogramme.